Dinámica no lineal · Cátedra Mindlin
Bifurcaciones 2D · Bifurcación de Hopf · Ejercicio 6
En los tres sistemas del ejercicio el Jacobiano en el origen es el mismo, J = [[μ, 1], [−1, μ]], con autovalores λ = μ ± i: un par complejo conjugado que cruza el eje imaginario cuando μ pasa por 0. El origen pasa de foco estable a foco inestable, y en ese cambio puede nacer un ciclo límite. Esa es la bifurcación de Hopf. Pero justo en μ = 0 la linealización da un centro y no alcanza para decidir qué pasa: lo deciden los términos no lineales. Hay dos escenarios posibles.
El objetivo es decidir, para cada ítem, en qué escenario estamos, usando simulaciones.
1 · Sistema y linealización en el origen
Elegí uno de los ítems o escribí un sistema propio usando mu (o μ) como parámetro. El Jacobiano se calcula por diferencias finitas en (0, 0). A la derecha, el camino de los autovalores en el plano complejo cuando μ recorre el rango del deslizador: los puntos marcan el μ actual.
autovalores de J(0,0) en el plano complejo
2 · Retrato de fases y trayectorias
Hacé clic en el retrato para largar una trayectoria (o escribí la condición inicial). Un ciclo límite estable atrae a las trayectorias cercanas cuando t → +∞. Uno inestable las repele, así que hacia adelante nunca lo vas a ver; pero si integrás hacia atrás se invierte la estabilidad y el ciclo inestable pasa a atraer. Con «recalcular al mover μ» activo, las condiciones iniciales se mantienen y las trayectorias se rehacen al mover el deslizador. Abajo, la serie temporal de cada trayectoria: la distancia al origen r(t) = √(x² + y²), o x(t) e y(t).
r(t) — distancia al origen
Qué mostrar
Ventana
Nueva trayectoria
3 · Diagrama de bifurcación
Es lo mismo que hacés a mano en la sección 2, pero automatizado. Para cada μ del rango se largan varias condiciones iniciales sobre el semieje x > 0 (entre 0 y r₀ máx) y se integran dos veces: hacia adelante, si la trayectoria no cae al origen ni escapa, termina en un ciclo estable; hacia atrás, si termina en una órbita cerrada, es un ciclo inestable. De cada ciclo encontrado se grafica su tamaño: el radio medio ⟨r⟩, el promedio de r = √(x² + y²) a lo largo de una vuelta. La recta r = 0 es el punto fijo en el origen. Hacé clic en el diagrama para llevar μ a ese valor.
Muy cerca de μ = 0 las trayectorias se acercan al ciclo (o al origen) muy lentamente, así que esos valores pueden quedar sin punto: es el mismo «frenado» que se ve en r(t) cuando μ = 0.
4 · Para cerrar: la cuenta en coordenadas polares
Abrí esto recién después de haber decidido con las simulaciones. La idea: calcular r ṙ = x ẋ + y ẏ. Cerca del origen las trayectorias giran casi uniformemente (θ̇ ≈ −1) mientras r cambia muy despacio, así que podemos reemplazar lo que depende de θ por su promedio sobre una vuelta. Queda una ecuación 1D para r, que se analiza como las bifurcaciones 1D que ya vimos.
x ẋ + y ẏ = μr² − x²y² = μr² − r⁴ cos²θ sin²θ. Como el promedio de cos²θ sin²θ sobre una vuelta es 1/8:
ṙ ≈ μr − r³/8
Es una pitchfork supercrítica en r: para μ > 0 aparece el punto fijo estable r* = √(8μ) (≈ 0.89 para μ = 0.1), que en el plano es un ciclo límite estable. Supercrítica.
x ẋ + y ẏ = μr² − x⁴ + 2y⁴. Con ⟨cos⁴θ⟩ = ⟨sin⁴θ⟩ = 3/8:
ṙ ≈ μr + (3/8) r³
Pitchfork subcrítica en r: para μ < 0 hay un punto fijo inestable r* = √(−8μ/3) (≈ 0.52 para μ = −0.1), o sea un ciclo inestable que separa las trayectorias que caen al origen de las que escapan. Subcrítica.
Lejos de μ = 0 la aproximación deja de valer: en el diagrama, la rama inestable se corta cerca de μ ≈ −0.16. Ahí el ciclo ya es grande, su período crece, y desaparece al chocar con dos sillas que el sistema tiene lejos del origen (son los dos puntos rojos del retrato de fases).
x ẋ + y ẏ = μr² − x³ + 2x²y = μr² + r³(−cos³θ + 2cos²θ sinθ). Ahora los términos no lineales son cuadráticos, y el promedio de cos³θ o de cos²θ sinθ sobre una vuelta es cero: a este orden la cuenta no decide nada. Hace falta ir al orden siguiente (una cuenta más larga que vamos a ver más adelante en la materia). Por eso este ítem es el que más conviene resolver con simulaciones.
Lo que muestran las simulaciones: supercrítica, con un ciclo estable para μ > 0 cuyo tamaño crece como √μ y que no está centrado en el origen. El sistema tiene otro punto fijo, una silla cerca de (0.5, 0.25): al crecer μ el ciclo se agranda, su período se dispara y alrededor de μ ≈ 0.065 toca la silla y desaparece. Eso se llama bifurcación homoclínica, y es otra forma en que un ciclo límite puede nacer o morir.
Con z = r eiθ y c = a + ib, la ecuación se separa en módulo y fase sin aproximar nada:
ṙ = μr + a r³ , θ̇ = ω + b r²
No hace falta promediar: la ecuación para r es exactamente una pitchfork. Si a < 0 hay un ciclo estable de radio √(−μ/a) para μ > 0 (supercrítica); si a > 0, un ciclo inestable de radio √(−μ/a) para μ < 0 (subcrítica). El ciclo es una circunferencia exacta, y b solo cambia la velocidad de giro: el período 2π/(ω + b r²) depende del tamaño del ciclo. Los ítems (a) y (b) se parecen a este modelo cerca del origen, con a = −1/8 y a = 3/8: eso es justamente lo que dio el promedio de r·ṙ.