Dinámica no lineal · Cátedra Mindlin
Sistemas 2D · Variedades invariantes · Ejercicio 8

Variedades invariantes de un punto fijo

ẋ = x + y² , ẏ = −y

Primero linealizamos: punto fijo, Jacobiano, autovalores y autovectores. Los autovectores definen las variedades locales lineales (subespacios estable e inestable). Después integramos el sistema no lineal: si largamos una condición inicial muy cerca del punto fijo sobre un autovector y la integramos hacia adelante (inestable) o hacia atrás (estable), obtenemos las variedades globales, que son tangentes a las lineales en el punto fijo pero se curvan lejos de él. Al final, para el sistema del Ejercicio 8, aproximamos la variedad estable con polinomios de grado creciente.

1 · Sistema y análisis lineal

Elegí un sistema (o escribí uno propio con sintaxis tipo Python/JS: x + y^2, exp(-y), sin(x)…). Los puntos fijos se buscan con Newton desde una grilla de condiciones iniciales dentro de la ventana, y el Jacobiano se aproxima por diferencias finitas — lo mismo que hacíamos con fsolve y approx_derivative en el colab.

x mín
x máx
y mín
y máx

2 · Retrato de fases, variedades y trayectorias

El flujo de fondo es un streamplot. En naranja y verde azulado, las variedades locales lineales (segmentos a lo largo de los autovectores). En negro, las variedades globales integradas numéricamente. Hacé clic en el retrato para largar una trayectoria desde ese punto, o escribí la condición inicial a mano.

punto fijo inestable (lineal) estable (lineal) variedad global trayectoria integrada hacia atrás

Qué mostrar

0.50

ε es la distancia al punto fijo, sobre el autovector, desde donde se larga la integración de la variedad global (T = ±20, como en el colab). Ej. 3.1: probá distintos ε.

Nueva trayectoria

x₀
y₀
tiempo T
paso dt
Sin trayectorias.

Ej. 3.2: con el sistema del Ej. 2, largá (x₀, y₀) = (0, 0.01) con T = 5 y dt = 0.01, en modo «puntos». Compará los ejes fijos en [−2, 2] con «Ajustar ejes a trayectorias», y después alargá T. ¿Por qué la trayectoria parece pegarse a la variedad inestable?

3 · Aproximación en serie de la variedad estable (Guía · Ej. 8)

Para ẋ = x + e^(−y), ẏ = −y, la silla está en (−1, 0). Con u = x + 1 proponemos y = a₁u + a₂u² + … + aNuN. Igualando las dos expresiones de dy/dx (derivando el polinomio, y como ẏ/ẋ) término a término, cada coeficiente queda determinado por los anteriores. A la izquierda, un zoom cerca del punto fijo; a la derecha, una ventana amplia. En negro, la variedad estable numérica (integrando hacia atrás desde (−1, 0) ± ε·vs).

2
0.30

cerca del punto fijo

ventana amplia

variedad estable numérica polinomio de grado N grados menores variedad inestable (eje x)

Mové N: en el zoom las curvas se vuelven indistinguibles de la numérica enseguida (con N = 1 ya es la variedad lineal, la recta del autovector (1, 2)). En la ventana amplia, en cambio, todo polinomio termina separándose.

Para pensar después: ¿por qué no converge lejos?

Los coeficientes calculados tienden a |an| ≈ 1, así que el radio de convergencia de la serie es ≈ 1 en u. Para ver por qué, escribí la variedad como x(y): dx/dy = ẋ/ẏ = −(x + e−y)/y es una EDO lineal, con (xy)′ = −e−y. La solución regular en y = 0 que pasa por (−1, 0) es x = (e−y − 1)/y. Cuando y → ∞, x → 0⁻: la rama superior tiene una asíntota vertical en u = 1, algo que ningún polinomio en u puede reproducir. Activá «marcar |u| = 1» y mirá la ventana amplia.